Contrôlabilité et stabilisabilité des systèmes linéaires dans les espaces de Hilbert

Abstract

Ce mémoire est consacré à l’étude de la contrôlabilité et de la stabilisabilité des sys- tèmes linéaires dans les espaces de Hilbert. Ces notions occupent une place importante

dans la théorie moderne du contrôle, en particulier dans l’étude des systèmes gouvernés par des équations différentielles ordinaires, des équations aux dérivées partielles et des modèles infini-dimensionnels. Dans un premier temps, nous rappelons les notions de base relatives aux espaces de Hilbert, aux opérateurs linéaires bornés et non bornés, aux opérateurs adjoints, aux

projecteurs, aux bases hilbertiennes, aux opérateurs compacts et aux semi-groupes for- tement continus. Ces outils permettent de formuler correctement les systèmes d’évolu- tion abstraits.

Dans un deuxième temps, nous étudions les systèmes linéaires infini-dimensionnels de la forme

x 0 (t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0; x(0) = x0,

où A est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe fortement continu sur un es- pace de Hilbert X, B est l’opérateur de contrôle et u représente la commande. Nous

présentons la notion de solution mild, qui est adaptée aux systèmes infini-dimensionnels lorsque les solutions classiques ne sont pas toujours disponibles.

Ensuite, nous analysons la contrôlabilité exacte, la contrôlabilité approchée, l’opé- rateur de contrôlabilité, l’espace atteignable et les critères associés. Une attention par- ticulière est accordée à la dualité entre contrôlabilité et observabilité, qui joue un rôle

central dans l’étude des équations aux dérivées partielles contrôlées. Enfin, nous abordons la stabilisabilité des systèmes linéaires dans les espaces de

Hilbert. Nous présentons la stabilisation forte, la stabilisation exponentielle, la stabi- lisation par retour d’état et quelques critères spectraux. Une application numérique

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sous MATLAB est proposée afin d’illustrer les notions étudiées à travers une approxi- mation finie-dimensionnelle d’un système gouverné par un opérateur de type Laplacien.